Dove c'è uguaglianza, c'è equilibrio!

Riporto integralmente il mio seminario presentato a Castel San Pietro Terme in occasione del XL Convegno Nazionale "Incontri con la matematica - Ricerca e pratica didattica, un impegno comune". Ringrazio tantissimo la mia mentore, la professoressa Antonella Castellini a cui ho chiesto aiuto più volte per organizzare e revisionare il materiale. Lei è anche la musa ispiratrice di questa attività: nel 2018 per prima sui gruppi Facebook difendeva il tanto bistrattato simbolo = e scrisse un abstract sul tema uguaglianza che mi ha ispirato in tutti i successivi anni scolastici nella realizzazione di vari laboratori sul tema. Riporto qui il link del post dove copiai le sue parole di allora: Manifesto

Il percorso che vi mostro non nasce da un progetto costruito a tavolino, ma è un percorso vissuto insieme ai miei bambini in classe prima. Il titolo che ho scelto spiega già come si è sviluppato: io cercavo un modo per far comprendere l'uguaglianza e i bambini mi hanno portato verso l’equilibrio.

Tutto è iniziato come iniziano molte cose in classe prima cioè con una domanda: "Oggi a cosa giochiamo?". È una domanda che sento quasi ogni mattina e dà il via a mille avventure! E proprio da un gioco è nata questa esperienza. Si avvicinava l'Equal Day e cercavo un'attività diversa da quelle proposte negli anni precedenti, cioè qualcosa che permettesse ai bambini di vivere il concetto di uguaglianza prima ancora di rappresentarlo con simboli e numeri. Ero nel panico perché non avevo nessuna idea originale ma poi ho aperto l'armadio e ci ho trovato una corda! Credo di aver avuto un lampo di genio, così l'ho portata a scuola. Da questa corda è nato un viaggio che ci ha portati a parlare di forza, peso, equilibrio, bilance e, naturalmente, matematica.

L'attività che avevo in mente partiva dal gioco del tiro alla fune. Perché proprio questo gioco? Ho scelto il tiro alla fune perché è un gioco semplice, conosciuto da tutti e immediatamente comprensibile anche a bambini di sei anni. Ovviamente si sono entusiasmati e tutti volevano giocare! In quel momento non stavo chiedendo loro di fare matematica. Non c'erano operazioni da risolvere, schede da completare o quantità da confrontare. Bastava giocare … 

Mentre cercavano di capire chi fosse più forte e perché uno vinceva e l'altro perdeva, stavano già osservando, confrontando, formulando ipotesi e cercando relazioni … ossia tutte le competenze che sono alla base del pensiero matematico. La mia idea iniziale era partire da situazioni di disuguaglianza perché sono vicine al loro vissuto e già sperimentate: per loro è facile riconoscere chi ha vinto e chi ha perso! Non immaginavo però cosa sarebbe successo … hanno trasformato l’attività, che nelle mie intenzioni doveva durare solo un paio di lezioni, in una lezione di fisica che mi ha generato un po’ d’ansia, ma che soprattutto meritava di non essere lasciata in sospeso!

Le prime sfide hanno suscitato un entusiasmo enorme. I bambini facevano il tifo, commentavano le vittorie e le sconfitte e cercavano di capire perché qualcuno riuscisse a trascinare l'altro. Da subito hanno iniziato a fare ipotesi basate sulle intuizioni e legate alla loro esperienza quotidiana. Dicevano: "Ha vinto perché ha più muscoli" - "È più forte" - "Vince chi ha più forza". La discussione è andata avanti per diverse sfide e, ogni volta, tornavano gli stessi elementi: forza, muscoli, capacità di tirare. Sembrava che la questione fosse risolta!

A un certo punto è successa una cosa che non avevo previsto: anche io ho partecipato alle sfide. Naturalmente continuavo a vincere, anche perché sono per carattere una grande agonista 😥. Prima io contro uno, poi contro due, poi contro tre bambini … A quel punto hanno iniziato a commentare: "È logico che vinci sempre tu: sei molto più grande di noi!" Poi un bambino ha aggiunto: "Allora conta anche quanto pesi!" La discussione ha preso immediatamente una direzione nuova. Non si parlava più soltanto di forza perché era comparsa una seconda variabile: il peso. E’ evidente che qui c’è un errore: noi adulti sappiamo che il peso in fisica è una forza ma nella visione dei miei bambini di 6 anni era proprio una nuova variabile. Non potevo in quel momento contraddirli quindi li ho assecondati e, anche con timore, ho cercato di far emergere le loro conoscenze, le domande, i dubbi e soprattutto le loro ipotesi. Per capire e verificare questa teoria, i bambini mi hanno chiesto di usare la bilancia e di pesarci. Abbiamo iniziato confrontando i pesi dei bambini che si erano sfidati. Nella maggior parte dei casi il più pesante era anche il vincitore della sfida. Poi ci siamo pesati io e i sette bambini che insieme erano riusciti a battermi. Usando la calcolatrice abbiamo sommato i loro pesi e mi è sfuggita un'osservazione: "Pensate un po'! Voi sette insieme pesate quasi il doppio di me!" Non l'avessi mai detto! Da quel momento i bambini hanno iniziato a tempestarmi di domande. Volevano capire se esistesse davvero una relazione tra il peso, la forza e il risultato delle sfide. E qui c'è un aspetto che mi ha colpito molto. Non stavano cercando il numero in sé, stavano cercando una spiegazione! Questa nuova raffica di domande mi aveva mandato in crisi e non sapevo davvero come uscirne ... ero talmente nel panico che quel giorno - appena tornata a casa - mandai subito una mail al professore di fisica di mio figlio e a Antonella chiedendo aiuto. 

In realtà i bambini avevano osservato, formulato ipotesi, raccolto dati e cercato di interpretarli 😍 ma non riuscendo a farlo continuavano a chiedermi "Tu lo sai perché lui ha vinto e io ho perso?" - "Cosa centra il peso con la vittoria?" - "Allora chi ha più muscoli pesa di più e può vincere, giusto?". Non sapevo come uscirne! Insomma il tiro alla fune si era trasformato in una attività di ricerca. Ed è stato proprio il lavoro sul peso a portarci, poco dopo, verso un'idea nuova: quella di equilibrio.

Il percorso aveva preso una direzione che non avevo previsto: si era trasformato in una lezione di fisica! Il giorno dopo, con le idee un po' più chiare, ho deciso che dovevamo fare ordine tra tutte le osservazioni emerse quindi abbiamo iniziato a disegnare nel quaderno alcune delle sfide svolte. Proprio durante questa fase è arrivata un'altra brillante intuizione. Nei disegni il vincitore compariva sempre in piedi cioè più in alto, il perdente a terra, più in basso e la corda risultava inclinata verso chi stava perdendo. Mentre lavoravamo, un bambino ha esclamato: "Mi ricorda l'altalena del parco giochi!". Non potevo lasciarmi sfuggire quest'occasione e ho subito proiettato alla LIM l'immagine di un'altalena a due posti e abbiamo iniziato a parlarne. Quasi tutti la conoscevano e un bambino ha spiegato ai compagni come funzionava, utilizzando un linguaggio tecnico sorprendentemente preciso: ha detto che c'è un asse di legno, un perno centrale e due braccia che si muovono verso l'alto e verso il basso. Un altro bambino ha subito aggiunto: "Sembra la bilancia con due piatti del fruttivendolo" così abbiamo osservato anche quella e confrontato i due oggetti. 

L'altalena, la bilancia e il tiro alla fune apparivano molto diversi tra loro, ma i bambini stavano iniziando a riconoscere quello che avevano in comune. È stato così che è entrata in scena una nuova parola: EQUILIBRIO. Non siamo arrivati all'equilibrio partendo dalla matematica ma ci siamo arrivati attraverso il corpo, il gioco, l'esperienza e soprattutto attraverso le intuizioni dei bambini. L'altalena, la bilancia e il tiro alla fune erano diventati modi diversi di rappresentare la stessa idea. Ma a quel punto mancava ancora una domanda: quando si raggiunge davvero l'equilibrio?

Dopo aver scoperto la parola equilibrio, abbiamo continuato a giocare. Questa volta però la nostra attenzione non era più rivolta ai vincitori e ai perdenti. I bambini cercavano qualcosa di diverso ossia le sfide senza vincitori, quelle in cui la corda restava ferma e nessuno dei due riusciva a trascinare l'altro. I bambini osservavano con attenzione e commentavano: "Hanno la stessa forza!" o "Sono uguali!". Per loro il pareggio era diventato qualcosa da cercare e da capire. E’ stato proprio attraverso queste sfide equilibrate che abbiamo iniziato a costruire il ponte verso la matematica.

Se due bambini possono essere in equilibrio perché hanno la stessa forza, allora anche due quantità possono essere in equilibrio quando hanno lo stesso valore. La vera scoperta non è stata capire che una quantità può essere maggiore o minore di un'altra: quel concetto era già consolidato grazie alle numerose attività di manipolazione e confronto svolte nelle settimane precedenti. La novità è stata comprendere che rappresentazioni diverse possono avere lo stesso valore. Poco alla volta la bilancia è diventata un modello per pensare l'uguaglianza. Non più FA ma HA LO STESSO VALORE DI.

Il passaggio alla matematica è stato naturale: i bambini avevano compreso che una bilancia in equilibrio rappresenta una situazione in cui nessuna delle due parti vale più dell'altra. Abbiamo iniziato allora a utilizzare la bilancia per rappresentare numeri e calcoli. Osservando le varie situazioni si sono accorti che quantità apparentemente diverse potevano mantenere lo stesso equilibrio. Per esempio, 6 e 3 + 3 occupano posti diversi della bilancia ma hanno lo stesso valore. La bilancia è diventata così uno strumento per visualizzare il significato relazionale dell'uguale. L'attenzione non era più rivolta al risultato di un calcolo, ma alla relazione tra le due parti. In altre parole, stavano lentamente passando da una lettura dell'uguale come FA a una lettura dell'uguale come E'.

L'idea di equilibrio li aveva ormai conquistati e nei giorni successivi continuavano a disegnare bilance, altalene e situazioni equilibrate così ho deciso di proporre una nuova sfida utilizzando un contesto completamente diverso. Abbiamo letto la famosissima storia della strega Rossella. Nella storia sulla scopa volano Rossella, il cane, il gatto, la rana e l'uccellino insieme agli oggetti (pentolone, bacchetta magica, fiocco e cappello). Volano tutti insieme ma ad un certo punto la rana fa un balzo e la scopa si spezza perché è vecchia e malandata e non riesce a reggere tutto quel peso. E' stato proprio qui (e non era previsto) che sono intervenuta dicendo che probabilmente avevano ragione. Ho rilanciato subito chiedendo "Se tutti insieme (Rossella + animali + oggetti) hanno fatto rompere la scopa, perché questo non accadesse, quanto peso avrebbe dovuto caricare Rossella???". Hanno avuto subito l'idea di assegnare un valore a tutti (personaggi + oggetti) e cercare le combinazioni di peso. Io ero ovviamente al settimo cielo: era novembre, appena due mesi di scuola e già contavano ogni giorno con dita, oggetti, gettoni, cubetti, ... ma hanno subito stimato il peso di tutti usando numeri entro il 10. Tra l'altro lo hanno fatto individuando dei rapporti corretti: ad esempio il pentole era l'oggetto più pesante quindi hanno deciso che valeva 6 mentre la bacchetta magica era l'oggetto più leggero quindi valore 1. Da lì hanno stabilito che sulla vecchia scopa poteva salire (esclusa Rossella che è magica e non pesa 😂) un valore di 8 e hanno cercato combinazioni di peso: 

🚩 cane 5 + uccello 3

🚩 gatto 4 + rana 2 + fiocco 1 + bacchetta 1 

🚩 pentolone 6 + rana 2

🚩 cane 5 + rana 2 + bacchetta 1

🚩... 

La storia di Rossella poi prosegue: gli amici incontrano un drago che vuole mangiare la strega e gli animali la salvano travestendosi da mostro di fango. Sconfitto il drago rimane però il problema della scopa spezzata. Rossella accende il fuoco sotto al calderone e prepara una pozione magica per riparare la vecchia scopa. Ogni animale porta un ingrediente e alla fine dal calderone esce una nuova scopa volante superaccessoriata e moderna. Un bambino ha subito detto che di sicuro questa scopa poteva reggere più peso rispetto a quella vecchia e mi hanno chiesto di rifare il GIOCO e cercare il giusto peso da mettere sulla nuova scopa, tenendo validi i valori già stabiliti. Hanno deciso che la nuova scopa poteva reggere un valore di 12. Pronti via e abbiamo riprovato. Ero entusiasta del fatto che avevano proposto una nuova pista e che si stavano impegnando tantissimo nel fare calcoli e cercare combinazioni per cercare di far volare le scope (sia vecchia che nuova). Hanno capito e detto che per farla volare bisognava trovare un EQUILIBRIO tra i pesi di chi ci saliva. Ero anche felice che avessero identificato l'attività come gioco: in quel momento non gli pesava di dover fare calcoli difficili! 

Con questo storytelling i bambini hanno iniziato a ragionare sulle quantità non più attraverso il tiro alla fune o la bilancia, ma attraverso una situazione narrativa. L'equilibrio era diventato un'idea trasferibile che si poteva applicare in contesti diversi mantenendo lo stesso significato matematico, cioè stavano facendo una forma embrionale di pensiero algebrico. Loro ovviamente hanno detto solo "Facciamo volare la scopa" ma per me è stato il segnale che il concetto stava diventando stabile.

A questo punto i bambini erano pronti per un passaggio ulteriore. Se quantità diverse possono avere lo stesso valore, allora anche un numero può essere rappresentato in modi diversi. Abbiamo iniziato a scrivere i numeri utilizzando addizioni e sottrazioni. L'attenzione non era più sul risultato finale ma sulla relazione tra rappresentazioni diverse della stessa quantità. Dopo aver lavorato a lungo con situazioni concrete, i bambini hanno iniziato a ragionare direttamente sulle rappresentazioni. Le bilance non erano più oggetti da osservare ma modelli da interpretare. Nella seconda attività della foto dovevano verificare se le situazioni rappresentate fossero realmente in equilibrio e individuare gli errori. L'attenzione era rivolta proprio al significato dell'uguaglianza! 

Per consolidare questa idea ho preparato una serie di cartellini che rappresentavano i numeri da 1 a 9 in modi diversi: mani, abaco, ten frame, dadi, addizioni e sottrazioni. In piccolo gruppo i bambini dovevano classificare le rappresentazioni e raccogliere nello stesso piatto tutte quelle che avevano lo stesso valore. Il lavoro li ha portati a consolidare l’idea che dietro a rappresentazioni molto diverse si nasconde la stessa quantità. Inoltre abbiamo scoperto, in modo casuale, sia la proprietà commutativa dell'addizione sia che questa non vale per la sottrazione. Naturalmente non l'abbiamo chiamata con il suo nome: in prima basta accorgersi che cambiando l'ordine il risultato non cambia!

Preparando la presentazione per il convegno mi chiedevo quale fosse la cosa più importante da raccontare. Le attività possono essere più o meno originali, i materiali più o meno efficaci, ma alla fine la domanda vera è sempre la stessa: "Cosa hanno capito i bambini?". Riguardando le foto, i quaderni e le loro verbalizzazioni, credo che la conquista più importante sia stata aver compreso che l'uguale non serve a scrivere un risultato ma a mettere in relazione due quantità che hanno lo stesso valore. I bambini hanno iniziato il percorso parlando di forza, di muscoli e di peso. Lo hanno concluso parlando di equilibrio. E proprio l'equilibrio è diventato il ponte che ha permesso loro di attribuire un significato nuovo al simbolo di uguaglianza. Un significato che non riguarda il FARE ma l'ESSERE.

Quando ho portato quella corda in classe avevo organizzato un'attività per l'Equal Day. Non immaginavo che mi avrebbe portato a parlare di forza, peso, equilibrio, bilance … come succede quasi sempre alla scuola primaria sono stati i bambini a mostrarmi la strada. Io cercavo un modo per spiegare l'uguaglianza. Loro mi hanno insegnato che, prima ancora di essere un simbolo, l'uguaglianza è una condizione di equilibrio!

Approfitto per ringraziare veramente tutti quelli che al convegno mi hanno ascoltato e apprezzato il mio lavoro! E' stata la mia prima volta come seminarista ed ero emozionata ma, mentre raccontavo mi sono accorta del coinvolgimento di chi ascoltava. 

Grazie a tutti 💓 da una maestra che crede nella condivisione!